What (who) is función vegetativa - definition

El polilogaritmo (también conocido como función de Jonquière) es una función especial ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ definida por la siguiente serie:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$

Esta no es, en general, una función elemental, aunque esté relacionada con la función logarítmica. La definición dada arriba es válida para todo número complejo s y z tal que ${\displaystyle \vert z\vert <1}$. Para obtener el polilogaritmo en el resto del plano complejo, hay que extender la definición mediante una continuación analítica.

El caso especial ${\displaystyle s=1}$ nos da la relación de estas funciones con el logaritmo (${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\operatorname {ln} (1-z)}$) mientras que los casos especiales ${\displaystyle s=2}$ y ${\displaystyle s=3}$ se denominan dilogaritmo (o función de Spence) y trilogaritmo respectivamente. El nombre de la función proviene del hecho de que podría ser definida como integrales iteradas de la misma función:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$

así, el dilogaritmo es una integral del logaritmo, el trilogaritmo del dilogaritmo y así continuamente. Para valores enteros negativos de s, el polilogaritmo es una función racional.

El polilogaritmo también aparece en la forma cerrada de la integral de la distribución de Fermi-Dirac y de la distribución de Bose-Einstein, denominándose a veces como la integral de Fermi-Dirac o la integral de Bose-Einstein. El polilogaritmo no debe confundirse con las funciones polilogarítmicas ni con la función logaritmo integral, la cual tiene una notación similar.